Algèbre et équations — Cours 6e

1. Expressions littérales — qu'est-ce que c'est ?

Définition

Une expression littérale contient des lettres qui représentent des nombres inconnus ou variables.
Exemples : 3x + 5 | 2(a + 7) | n² − 4

Calcul littéral — notations

3 × x s'écrit 3x (on supprime le signe ×)
x × y s'écrit xy
1 × x s'écrit x (pas de 1 devant)
x ÷ 4 s'écrit x/4 ou x ÷ 4

Calculer la valeur d'une expression (substitution)

3x + 5 pour x = 4 : 3×4 + 5 = 12 + 5 = 17
2a − 1 pour a = 7 : 2×7 − 1 = 14 − 1 = 13
n² + 2n pour n = 3 : 9 + 6 = 15

2. Réduire une expression

Termes semblables

On peut additionner les termes semblables = termes avec la même partie littérale.

Exemples

3x + 5x = 8x (même lettre x)
4a + 2 + 3a − 7 = 7a − 5 (regrouper les a et les constantes)
2x + 3y + 5x − y = 7x + 2y (x avec x, y avec y)
x² + 3x + 2x² = 3x² + 3x (x² ≠ x !)

Attention

3x et 3x² ne sont PAS des termes semblables ! La puissance doit être identique.

3. Développer — distributivité

Distributivité simple

k(a + b) = ka + kb

k(a − b) = ka − kb

Exemples

3(x + 4) = 3x + 12
5(2a − 3) = 10a − 15
−2(n + 7) = −2n − 14 (attention au signe !)
4(3 − x) = 12 − 4x

Développer puis réduire

3(2x + 1) + 4x
= 6x + 3 + 4x
= 10x + 3

4. Résoudre une équation — principe de la balance

Principe fondamental

Une équation, c'est comme une balance en équilibre. Si on fait la même opération des deux côtés, l'équilibre est conservé.

3x + 5

Isoler le terme en x

3x + 5 = 17
→ 3x + 5 − 5 = 17 − 5
→ 3x = 12

Diviser par le coefficient

3x ÷ 3 = 12 ÷ 3
→ x = 4

✓

Vérification

3 × 4 + 5 = 12 + 5 = 17 ✓

5. Exemples d'équations variées

Ex1

2x = 10

÷ 2 : x = 5

Ex2

x + 8 = 15

− 8 : x = 7

Ex3

4x − 3 = 13

+3 : 4x = 16 → ÷4 : x = 4

Ex4

2(x + 5) = 20

÷2 : x + 5 = 10 → −5 : x = 5

Ex5

5x + 3 = 2x + 12

−2x : 3x + 3 = 12 → −3 : 3x = 9 → x = 3

6. Mettre en équation un problème

Méthode

Nommer l'inconnue : "soit x le nombre cherché"
Traduire le problème en équation
Résoudre, puis vérifier dans l'énoncé

Exemple

Paul a 3 fois plus de billes que Sophie, plus 4. Il en a 22 au total.
Soit x le nombre de billes de Sophie.
3x + 4 = 22 → 3x = 18 → x = 6
Sophie a 6 billes, Paul en a 3×6+4 = 22 ✓

📌 À retenir

Expression littérale : calculer en remplaçant la lettre par sa valeur
Réduire : additionner uniquement les termes semblables (même lettre ET même exposant)
Développer : k(a + b) = ka + kb (distribuer)
Équation : même opération des deux côtés → balance équilibrée
Vérifier : substituer x dans l'équation de départ

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