📐 Les angles — Cours CM1

1. Qu'est-ce qu'un angle ?

Définition

Un angle, c'est l'ouverture entre deux demi-droites qui partent du même point. Ce point commun s'appelle le sommet de l'angle. Les deux demi-droites s'appellent les côtés de l'angle.
On mesure les angles en degrés (°). Plus l'ouverture est grande, plus le nombre de degrés est grand.

Notation d'un angle

Un angle se note souvent ∠ABC où B est le sommet et A, C sont des points sur chaque côté.
On le lit "angle ABC". La lettre du milieu est toujours le sommet.
Un angle droit se note avec un petit carré □ dessiné au sommet.

Exemples concrets

Les aiguilles d'une horloge forment un angle : plus elles sont écartées, plus l'angle est grand
La porte ouverte forme un angle avec le mur
Les branches d'un compas forment un angle à la pointe
Le coin d'une feuille de papier = angle droit (90°)

Angle intérieur d'une figure

Dans un polygone (triangle, carré, rectangle…), chaque coin est un angle intérieur. Le coin d'un carré = angle droit de 90°. Le coin d'un triangle varie selon la forme du triangle.

Piège — la longueur des côtés ne change pas l'angle

Un angle de 45° est un angle de 45° que ses côtés mesurent 1 cm ou 20 cm ! Ce qui compte, c'est l'ouverture. Ne te laisse pas tromper par la longueur des traits.

2. Les types d'angles

Les 4 types d'angles à reconnaître au premier coup d'œil

Angle nul

0°

les deux côtés sont confondus, aucune ouverture

Angle aigu

< 90°

entre 0° et 90° — plus fermé que le droit

Angle droit

= 90°

symbole □ — coin parfait de 90°

Angle obtus

90° à 180°

entre 90° et 180° — plus ouvert que le droit

Angle plat

= 180°

les deux côtés forment une ligne droite

Angle rentrant

> 180°

entre 180° et 360° — dépasse la ligne droite

Reconnaître un angle sans rapporteur

Compare avec le coin d'une feuille de papier (= angle droit, 90°) :
— L'angle est plus fermé que le coin → angle aigu
— L'angle coïncide exactement avec le coin → angle droit
— L'angle est plus ouvert que le coin mais pas une ligne droite → angle obtus
— Les deux côtés forment une ligne droite → angle plat

Exemples du quotidien

Coin d'une page de cahier = angle droit (90°)
Pizza coupée en 6 parts = chaque part a un angle de 60° (aigu) au centre
Porte entrouverte = angle aigu ou obtus selon l'ouverture
Aiguilles à 6h = angle plat (180°)
Aiguilles à 3h = angle droit (90°)
Toit d'une maison = angle aigu au sommet

Erreur fréquente

Un angle obtus n'est pas "plus grand que 180°". Un obtus est entre 90° et 180°. Au-delà de 180°, c'est un angle rentrant (qu'on voit peu en CM1). Ne pas confondre obtus et rentrant.

3. Mesurer un angle au rapporteur

Le rapporteur — présentation

Le rapporteur est un demi-cercle gradué de 0° à 180°. Il a deux rangées de chiffres allant en sens opposés (une de 0 à 180 dans un sens, l'autre dans le sens inverse). Il a un centre (point au milieu de la base droite) et une ligne de base (diamètre du demi-cercle).

Méthode pas-à-pas : mesurer ∠ABC

1Étape 1 — Placer le centrePlace le centre du rapporteur exactement sur le sommet B de l'angle. Le rapporteur doit être bien centré.
2Étape 2 — Aligner la baseFais coïncider la ligne de base du rapporteur avec le côté BA. Le zéro doit se trouver exactement sur ce côté.
3Étape 3 — Lire la mesureRegarde où pointe le côté BC sur les graduations. Tu verras deux chiffres (un sur chaque rangée). Note les deux valeurs possibles.
4Étape 4 — Choisir la bonne valeurEst-ce que l'angle est aigu ou obtus ? Si aigu → choisis la valeur < 90°. Si obtus → choisis la valeur > 90°. Si tu lis 40° et 140°, et l'angle est aigu, alors la mesure est 40°.

Les deux échelles — règle de vérification

L'angle semble plus fermé que le coin de ta feuille → mesure < 90° → prends la petite valeur
L'angle semble plus ouvert que le coin de ta feuille → mesure > 90° → prends la grande valeur
Les deux valeurs affichées ont toujours une somme de 180°

Exercice guidé — exemples

Le rapporteur indique 55° et 125° — l'angle est clairement aigu → mesure = 55°
Le rapporteur indique 70° et 110° — l'angle est obtus → mesure = 110°
Le rapporteur indique 90° sur les deux échelles → mesure = 90° (angle droit !)

Erreurs fréquentes avec le rapporteur

Ne pas centrer exactement le rapporteur sur le sommet → mesure fausse
Lire la mauvaise rangée de chiffres sans vérifier si l'angle est aigu ou obtus
Mal aligner la ligne de base sur un côté de l'angle
Oublier que si tu lis 0° ce n'est pas l'angle — c'est juste que tu t'es aligné sur ce côté

4. Tracer un angle au rapporteur

Le principe

Pour tracer un angle d'une mesure donnée, tu vas d'abord dessiner un côté, puis utiliser le rapporteur pour marquer la bonne direction pour le deuxième côté.

Méthode pas-à-pas : tracer un angle de 45°

1Étape 1Trace un premier côté (un segment horizontal par exemple). Marque son extrémité gauche : c'est le sommet de l'angle.
2Étape 2Place le centre du rapporteur sur le sommet, la ligne de base alignée sur le premier côté.
3Étape 3Repère la graduation 45° sur la bonne rangée (45 est plus petit que 90 donc c'est une mesure d'angle aigu, prends la rangée qui commence par 0° du côté de ton premier côté). Fais un petit trait au crayon à cet endroit.
4Étape 4Retire le rapporteur. Trace un segment depuis le sommet jusqu'au petit trait : c'est le deuxième côté de l'angle.
5VérifReplace le rapporteur et mesure l'angle obtenu : tu dois bien lire 45°.

Exemple — tracer un angle de 120°

Même méthode mais tu cherches la graduation 120°. L'angle sera obtus (plus ouvert que le coin de la feuille). Utilise la rangée qui te donne une valeur > 90°.

Attention au sens du rapporteur

Quand tu traces l'angle, le deuxième côté doit s'ouvrir du bon côté. Si tu te trompes de sens, ton angle sera dans la mauvaise direction. Vérifie toujours en mesurant après le tracé.

5. Angles et triangles

Propriété fondamentale — à retenir absolument

La somme des 3 angles d'un triangle vaut TOUJOURS 180°.
Peu importe la forme du triangle, quelle que soit sa taille : angle A + angle B + angle C = 180°

Application — trouver un angle manquant

Un triangle a deux angles de 60° et 80°. Le troisième angle = 180° − 60° − 80° = 40°
Un triangle a un angle de 90° et un angle de 35°. Le troisième = 180° − 90° − 35° = 55°
Un triangle équilatéral : chaque angle = 180° ÷ 3 = 60°

Types de triangles selon leurs angles

Triangle rectangle : un angle droit (90°) — les deux autres angles sont aigus et leur somme vaut 90°
Triangle acutangle : tous les angles sont aigus (tous < 90°)
Triangle obtusangle : un angle obtus (> 90°) — les deux autres sont forcément aigus
Triangle équilatéral : 3 angles de 60° — tous égaux
Triangle isocèle : 2 angles égaux (les angles à la base des deux côtés égaux)

Équilatéral

3×60°

3 côtés égaux · 3 angles égaux

Rectangle

90°+…

un angle droit · 2 côtés perpendiculaires

Isocèle

2 égaux

2 angles à la base égaux

Obtusangle

>90°

un angle obtus · les autres aigus

Pièges sur les triangles

Un triangle ne peut pas avoir deux angles droits (car 90°+90°=180°, il n'y aurait plus de place pour le troisième angle)
Un triangle ne peut pas avoir deux angles obtus (leur somme dépasserait déjà 180°)
Si tu trouves un troisième angle négatif ou nul, c'est que tu as mal calculé les deux premiers !

6. Angles et polygones

Somme des angles intérieurs selon le nombre de côtés

Triangle (3 côtés) : somme = 180°
Quadrilatère (4 côtés) : somme = 360° (deux triangles)
Pentagone (5 côtés) : somme = 540° (trois triangles)
Hexagone (6 côtés) : somme = 720° (quatre triangles)

Pourquoi ces formules ?

On peut toujours décomposer un polygone en triangles à partir d'un sommet. Un quadrilatère donne 2 triangles → 2 × 180° = 360°. Un pentagone donne 3 triangles → 3 × 180° = 540°. La formule générale (qu'on verra plus tard) est : (n − 2) × 180° pour un polygone à n côtés.

Applications — trouver un angle manquant dans un quadrilatère

Un quadrilatère a 3 angles : 80°, 100°, 95°. Le 4ème = 360° − 80° − 100° − 95° = 85°
Un rectangle : 4 angles droits → 4 × 90° = 360° ✓
Un carré : 4 angles droits → 4 × 90° = 360° ✓

Angles dans un hexagone régulier

Chaque angle d'un hexagone régulier (6 côtés égaux) = 720° ÷ 6 = 120° chacun.
Tu reconnais la forme des alvéoles d'abeille !

Erreur fréquente

Certains pensent que tous les polygones ont des angles droits. C'est faux ! Seuls le carré et le rectangle ont 4 angles droits parmi les figures courantes. Un pentagone quelconque a des angles variés.

7. Angles remarquables et relations entre angles

30°

angle d'un triangle équilatéral coupé en deux · horloge 1h

45°

moitié d'un angle droit · triangle isocèle rectangle

60°

triangle équilatéral · pizza en 6 parts

90°

angle droit · coin de feuille

120°

angle d'un hexagone régulier · supplément de 60°

135°

supplément de 45°

150°

supplément de 30°

180°

angle plat · demi-tour complet

Angles supplémentaires

Deux angles sont supplémentaires quand leur somme vaut 180°.
Exemples : 60° et 120° sont supplémentaires (60+120=180). 45° et 135° aussi.
Sur une droite, les deux angles formés de part et d'autre sont toujours supplémentaires !

Angles complémentaires

Deux angles sont complémentaires quand leur somme vaut 90°.
Exemples : 30° et 60° sont complémentaires (30+60=90). 45° et 45° aussi.
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont toujours complémentaires !

Application — trouver l'angle supplémentaire ou complémentaire

Supplément de 70° = 180° − 70° = 110°
Supplément de 45° = 180° − 45° = 135°
Complément de 35° = 90° − 35° = 55°
Complément de 60° = 90° − 60° = 30°

Ne pas confondre supplémentaires et complémentaires

Complémentaires → somme = 90° (deux angles qui "complètent" un angle droit)
Supplémentaires → somme = 180° (deux angles qui "complètent" un angle plat)
Astuce : Com-plémentaire → 90 (comme "Coin") · Sup-plémentaire → 180 (comme "Straight" = droit en anglais)

8. Droites parallèles, perpendiculaires et angles

Perpendiculaires et angles droits

Quand deux droites sont perpendiculaires, elles forment 4 angles droits à leur intersection. Les 4 angles valent chacun 90°, et leur somme = 360° (un tour complet).

Droites parallèles et droite sécante

Quand une droite coupe deux droites parallèles, elle crée plusieurs angles. Les angles alternes-internes (en zigzag de part et d'autre de la droite, entre les parallèles) sont égaux. Les angles correspondants (du même côté, l'un entre les parallèles, l'autre à l'extérieur) sont aussi égaux. On peut vérifier visuellement en regardant les angles qui semblent identiques.

Propriétés visuelles à retenir

Droites perpendiculaires → 4 angles droits de 90°
Une droite qui coupe deux parallèles → crée des angles égaux (alternes-internes et correspondants)
Les droites parallèles ne se croisent jamais → elles ne forment pas d'angle entre elles

Dans les figures planes

Carré et rectangle : côtés opposés parallèles, côtés adjacents perpendiculaires → 4 angles droits
Losange : côtés opposés parallèles, mais côtés adjacents non perpendiculaires → angles non droits
Triangle quelconque : pas de côtés parallèles entre eux

Erreur fréquente

Confondre "angles égaux" et "angles supplémentaires" quand une droite coupe deux parallèles. Les angles alternes-internes sont égaux. Mais les angles situés du même côté (co-internes) sont supplémentaires (leur somme = 180°).

A retenir — l'essentiel

Angle : ouverture entre deux demi-droites de même sommet, mesure en degrés (°)
Aigu < 90° · Droit = 90° (symbole □) · Obtus entre 90° et 180° · Plat = 180°
Rapporteur : centre sur le sommet, base alignée sur un côté, lire sur la bonne échelle
Vérifier : aigu → valeur < 90° / obtus → valeur > 90°
Triangle : somme des angles = 180° TOUJOURS
Quadrilatère : somme des angles = 360°
Complémentaires : somme = 90° · Supplémentaires : somme = 180°
Perpendiculaires : forment 4 angles droits
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires

Tu as compris le cours ? Entraîne-toi maintenant !

📝 Exercices : Angles CM1