1. La fraction comme quotient
En 6ème, une fraction a/b est le résultat de la division de a par b. C'est un quotient.
a s'appelle le numérateur (dividende) et b le dénominateur (diviseur), avec b ≠ 0.
La fraction, le quotient et le nombre décimal sont trois écritures du même nombre :
¾ = 3 ÷ 4 = 0,75 toutes ces écritures représentent la même valeur.
- Entier : ¹²⁄₄ = 12 ÷ 4 = 3
- Décimal fini : ¾ = 3 ÷ 4 = 0,75
- Décimal infini périodique : ⅓ = 1 ÷ 3 = 0,333… (les 3 se répètent à l'infini)
- Décimal infini périodique : ⅔ = 0,666…
La fraction permet d'exprimer une valeur exacte quand la forme décimale serait infinie.
⅓ est exact, 0,333… est une approximation. En mathématiques, on préfère ⅓.
a/0 n'existe pas en mathématiques. Diviser par zéro est une opération impossible.
Si tu trouves 0 au dénominateur dans un calcul, tu as fait une erreur.
2. Fractions irréductibles — algorithme d'Euclide
Une fraction a/b est irréductible si et seulement si a et b sont premiers entre eux, c'est-à-dire PGCD(a, b) = 1.
Pour PGCD(a, b) avec a > b :
Divise a par b → obtiens le reste r. Si r = 0, le PGCD est b. Sinon, recommence avec b et r.
PGCD(2, 3) : 3 ÷ 2 = 1 reste 1 · puis 2 ÷ 1 = 2 reste 0 → PGCD = 1
Donc 2 et 3 sont premiers entre eux → ²⁄₃ est irréductible ✓
- ⁵⁴⁄₇₂ : PGCD(54,72) — 72÷54=1 r18 · 54÷18=3 r0 → PGCD=18 → ¾
- ⁴⁵⁄₆₀ : PGCD(45,60) — 60÷45=1 r15 · 45÷15=3 r0 → PGCD=15 → ¾
3. Comparaison et ordre des fractions
Pour comparer a/b et c/d : cherche le PPCM de b et d, convertis les deux fractions, puis compare les numérateurs.
PPCM(a,b) = (a × b) ÷ PGCD(a,b)
PPCM(4,6) = 24 ÷ PGCD(4,6) = 24 ÷ 2 = 12
- ⅔ et ¾ : PPCM(3,4) = 12 · ⅔ = ⁸⁄₁₂ · ¾ = ⁹⁄₁₂ → ⅔ < ¾
- ⁵⁄₆ et ⁷⁄₈ : PPCM(6,8) = 24 · ⁵⁄₆ = ²⁰⁄₂₄ · ⁷⁄₈ = ²¹⁄₂₄ → ⁵⁄₆ < ⁷⁄₈
- ⁷⁄₁₂ et ⅗ : PPCM(12,5) = 60 · ⁷⁄₁₂ = ³⁵⁄₆₀ · ⅗ = ³⁶⁄₆₀ → ⁷⁄₁₂ < ⅗
Fraction positive/positive : toujours > 0.
Fraction < 1 : numérateur < dénominateur.
Fraction = 1 : numérateur = dénominateur.
Fraction > 1 : numérateur > dénominateur.
Ordonne ¼, ⅗, ½, ⁷⁄₁₀ : convertis en décimaux → 0,25 · 0,6 · 0,5 · 0,7
Ordre croissant : ¼ < ½ < ⅗ < ⁷⁄₁₀
4. Addition et soustraction — cas général 6ème
- Étape 1 : calcule PPCM(b, d)
- Étape 2 : convertis a/b et c/d au dénominateur PPCM
- Étape 3 : additionne ou soustrait les numérateurs
- Étape 4 : simplifie (cherche le PGCD du résultat)
- Additionner les dénominateurs : ½ + ⅓ ≠ ²⁄₅ (FAUX)
- Oublier de simplifier : ⁶⁄₁₂ doit devenir ½
- Trouver n'importe quel dénominateur commun au lieu du PPCM (pas grave, mais rend les calculs plus lourds)
5. Multiplication et division de fractions
Multiplication : (a/b) × (c/d) = (a×c) / (b×d)
Division : (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a×d) / (b×c)
- ⅗ × ⁵⁄₉ = ¹⁵⁄₄₅ = ⅓ (PGCD(15,45)=15)
- ⁴⁄₇ × ⁷⁄₈ = ²⁸⁄₅₆ = ½ (simplification croisée : 4×7 et 7×8, le 7 se simplifie)
- ⅔ × ⁹⁄₄ = ¹⁸⁄₈ = ⁹⁄₄ = 2,25
- ⅔ ÷ ⅘ = ⅔ × ⁵⁄₄ = ¹⁰⁄₁₂ = ⁵⁄₆
- ¾ ÷ ¾ = ¾ × ⁴⁄₃ = ¹²⁄₁₂ = 1 (tout nombre ÷ par lui-même = 1)
- ⁵⁄₆ ÷ ½ = ⁵⁄₆ × 2 = ¹⁰⁄₆ = ⁵⁄₃
Avant de multiplier, cherche si un numérateur et un dénominateur (pas forcément de la même fraction) ont un diviseur commun.
⅔ × ⁹⁄₄ : le 3 (dénominateur) et le 9 (numérateur) ont 3 en commun → ²⁄₁ × ³⁄₄ = ⁶⁄₄ = ³⁄₂
6. Fractions et nombres relatifs
On peut avoir le signe moins dans une fraction.
−³⁄₅ = ³⁄(−₅) = −(³⁄₅) : ces trois écritures sont équivalentes.
Par convention, on place le signe devant la fraction : −³⁄₅.
Les fractions négatives se placent à gauche de 0, et les positives à droite.
−¾ = −0,75 se place entre −1 et 0, plus proche de −1.
Axe : ··· −1 — −¾ — −½ — −¼ — 0 — ¼ — ½ — ¾ — 1 ···
Tout négatif est inférieur à tout positif.
Pour comparer deux fractions négatives : −¼ > −¾ (car −0,25 > −0,75)
Plus une fraction négative est "grande" en valeur absolue, plus elle est petite.
- −⅓ + ⅔ = ¹⁄₃ (−1+2 = 1, même dénominateur)
- −¾ − ¼ = −⁴⁄₄ = −1
- −⅔ × ³⁄₄ = −⁶⁄₁₂ = −½ (négatif × positif = négatif)
- −⅓ ÷ (−½) = −⅓ × (−2) = ⅔ (négatif × négatif = positif)
−(a/b) ≠ (−a)/(−b). L'opposé de ³⁄₅ est −³⁄₅. Mais (−3)/(−5) = ³⁄₅ (les deux signes s'annulent).
7. Problème complexe multi-étapes
- Lis deux fois l'énoncé et identifie les données et la question
- Décompose en sous-questions si c'est complexe
- Calcule chaque étape en gardant les fractions exactes (pas de décimaux intermédiaires)
- Donne le résultat simplifié et vérifie l'ordre de grandeur
Un collège a 600 élèves. ⅝ sont au collège le lundi. Parmi ceux-là, ¾ ont sport.
Combien d'élèves font sport le lundi ?
Étape 1 — élèves présents le lundi : ⅝ de 600 → 600 ÷ 5 = 120 → 120 × 5 = 600... attention.
⅝ de 600 : 600 ÷ 5 = 120 → 120 × 5... non. 600 ÷ 5 = 120 par part → 5 parts... ⅝ = 5 parts sur 8.
600 ÷ 8 = 75 (1 huitième) → 75 × 5 = 375 élèves présents.
Étape 2 — parmi les 375, ¾ font sport : 375 ÷ 4... 375 n'est pas divisible par 4.
¾ de 375 = (375 × 3) ÷ 4 = 1125 ÷ 4 = 281,25 ← problème ! On arrondit à 281 ou 282.
En réalité le problème serait avec 480 élèves : ⅝ de 480 = 300 · ¾ de 300 = 225 élèves.
Pierre dépense ⅓ de son argent de poche en livres, et ¼ en jeux. Il lui reste 15 €.
Part dépensée : ⅓ + ¼ = ⁴⁄₁₂ + ³⁄₁₂ = ⁷⁄₁₂
Part restante : 1 − ⁷⁄₁₂ = ⁵⁄₁₂
⁵⁄₁₂ de l'argent = 15 € → 1 douzième = 3 € → argent total = 3 × 12 = 36 €
Bilan — exercices types 6ème
La fraction ⁵⁶⁄₈₄ est-elle irréductible ? Sinon, simplifie-la.
PGCD(56,84) : 84 ÷ 56 = 1 r28 · 56 ÷ 28 = 2 r0 → PGCD = 28
28 ≠ 1 → non irréductible. ⁵⁶⁄₈₄ = ²⁄₃
Calcule ⁵⁄₆ + ⁷⁄₁₀ :
PPCM(6,10) = (6×10) ÷ PGCD(6,10) = 60 ÷ 2 = 30
⁵⁄₆ = ²⁵⁄₃₀ · ⁷⁄₁₀ = ²¹⁄₃₀ → ²⁵⁄₃₀ + ²¹⁄₃₀ = ⁴⁶⁄₃₀ = ²³⁄₁₅ = 1⁸⁄₁₅
Calcule (−³⁄₄) ÷ ⅙ :
Inverse de ⅙ = 6 → (−³⁄₄) × 6 = −¹⁸⁄₄ = −⁹⁄₂ = −4,5
Anna a 48 € d'économies. Elle dépense ⅜ pour un cadeau et ¼ pour des livres. Combien lui reste-t-il ?
Cadeaux : ⅜ de 48 = 48 ÷ 8 × 3 = 18 €
Livres : ¼ de 48 = 12 €
Dépenses totales : 18 + 12 = 30 €
Reste : 48 − 30 = 18 €
Vérification : 18/48 = ⅜ restants. ⅜ + ¼ + ⅜ = 3+2+3 / 8 = ⁸⁄₈ = 1 ✓
En 6ème, une réponse non simplifiée peut coûter des points. Après chaque calcul :
1. Cherche le PGCD du résultat · 2. Simplifie · 3. Vérifie que c'est irréductible.
A retenir
- a/b = a ÷ b : la fraction est un quotient (exact, même si le décimal est infini)
- Irréductible : PGCD(num, dén) = 1 — utilise l'algorithme d'Euclide
- Additionner : trouver PPCM, convertir, additionner les numérateurs
- Multiplier : (a/b)×(c/d) = (a×c)/(b×d) — simplifier croisé avant si possible
- Diviser : multiplier par l'inverse (retourner la deuxième fraction)
- Fractions négatives : −(a/b) se place à gauche de 0 · même signes → positif · signes différents → négatif
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📝 Exercices : Fractions 6ème