1. Simplifier une fraction — trouver le PGCD
Une fraction est irréductible quand le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1. On ne peut plus la simplifier.
Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux nombres est le plus grand nombre qui divise les deux en même temps.
Pour simplifier ¹²⁄₁₈ :
Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18
PGCD(12, 18) = 6 → ¹²⁄₁₈ = ²⁄₃ (on divise les deux par 6)
- ²⁰⁄₃₀ : PGCD = 10 → ²⁄₃
- ¹⁶⁄₂₄ : PGCD = 8 → ²⁄₃
- ⁹⁄₁₂ : PGCD = 3 → ¾
- ¹⁰⁄₁₅ : PGCD = 5 → ²⁄₃
Simplifie étape par étape par les petits diviseurs communs (2, 3, 5…) jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus.
¹²⁄₃₀ → ÷2 → ⁶⁄₁₅ → ÷3 → ²⁄₅ (irréductible car 2 et 5 n'ont pas de diviseur commun)
2. Fractions irréductibles — vérification
Une fraction a/b est irréductible si et seulement si PGCD(a, b) = 1.
Concrètement : teste si 2, 3, 5, 7 (les premiers nombres premiers) divisent les deux à la fois.
- ²⁄₃ : 2 et 3 n'ont que 1 en commun ✓
- ⅗ : 3 et 5 n'ont que 1 en commun ✓
- ⁴⁄₇ : 4 n'est pas divisible par 7, et 7 ne divise pas 4 ✓
- ⁷⁄₁₂ : 7 est premier, 12 n'est pas un multiple de 7 ✓
- ⁴⁄₆ : 4 et 6 sont tous deux divisibles par 2 → simplifier en ²⁄₃
- ⁹⁄₁₅ : 9 et 15 sont tous deux divisibles par 3 → simplifier en ³⁄₅
Quand tu trouves une fraction comme réponse à un problème, vérifie toujours si elle est irréductible. Ton professeur peut enlever des points si tu laisses ⁶⁄₈ au lieu de ¾ !
3. Addition et soustraction — dénominateurs différents
- Étape 1 : trouve un dénominateur commun (multiple des deux dénominateurs)
- Étape 2 : convertis chaque fraction pour avoir ce dénominateur commun
- Étape 3 : additionne ou soustrait les numérateurs (le dénominateur reste le même)
- Étape 4 : simplifie le résultat si possible
½ = ³⁄₆ · ⅓ = ²⁄₆ → ³⁄₆ + ²⁄₆ = ⁵⁄₆ (irréductible)
¾ = ⁹⁄₁₂ · ⅙ = ²⁄₁₂ → ⁹⁄₁₂ + ²⁄₁₂ = ¹¹⁄₁₂
⅔ = ⁸⁄₁₂ · ¾ = ⁹⁄₁₂ · ⅙ = ²⁄₁₂ → 8+9−2 = 15 → ¹⁵⁄₁₂ = ⁵⁄₄
⁵⁄₆ − ¼ : dénominateur commun = 12 · ⁵⁄₆ = ¹⁰⁄₁₂ · ¼ = ³⁄₁₂
¹⁰⁄₁₂ − ³⁄₁₂ = ⁷⁄₁₂ (irréductible : PGCD(7,12) = 1) ✓
Le plus simple est souvent de multiplier les deux dénominateurs :
Dénominateurs 3 et 5 → commun = 15. Mais parfois on peut trouver plus petit :
Dénominateurs 4 et 6 → multiplié = 24, mais PPCM = 12 (plus pratique).
4. Multiplier des fractions
(a/b) × (c/d) = (a×c) / (b×d)
On multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux.
- ⅔ × ¾ = (2×3)/(3×4) = ⁶⁄₁₂ = ½
- ⅗ × ⁵⁄₉ = (3×5)/(5×9) = ¹⁵⁄₄₅ = ⅓
- ¾ × ⁸⁄₉ = (3×8)/(4×9) = ²⁴⁄₃₆ = ⅔
Avant de multiplier, cherche si un numérateur et un dénominateur ont un diviseur commun. Tu peux simplifier en diagonale pour obtenir des plus petits nombres.
⅔ × ¾ : le 3 du numérateur de ⅔ et le 3 du dénominateur de ¾ se simplifient (÷3)
⅔ × ¾ → ²⁄₁ × ¼ = ²⁄₄ = ½ (même résultat, calcul plus facile !)
⅗ × 10 = ⅗ × ¹⁰⁄₁ = ³⁰⁄₅ = 6
¾ × 8 = ¾ × ⁸⁄₁ = ²⁴⁄₄ = 6
5. Diviser par une fraction
L'inverse d'une fraction a/b est la fraction b/a (on retourne la fraction).
Inverse de ¾ = ⁴⁄₃ · Inverse de ⅖ = ⁵⁄₂ · Inverse de ½ = 2
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)
L'inverse de ¾ est ⁴⁄₃ (on retourne). L'opposé de ¾ est −¾ (on change le signe). Ce sont deux choses différentes !
6. Fractions et pourcentages
Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est 100.
25% = ²⁵⁄₁₀₀ = ¼ 50% = ⁵⁰⁄₁₀₀ = ½ 100% = ¹⁰⁰⁄₁₀₀ = 1 (tout entier)
x% de N = N × x ÷ 100 (ou N × x/100)
25% de 80 = 80 × 25 ÷ 100 = 80 ÷ 4 = 20
30% de 50 = 50 × 30 ÷ 100 = 15
- 20% de réduction sur 60 € : 60 × 20 ÷ 100 = 12 € → prix = 60 − 12 = 48 €
- 15% de 200 points : 200 × 15 ÷ 100 = 30 points
- TVA 20% sur 50 € : 50 × 0,2 = 10 € → prix TTC = 60 €
7. Résoudre un problème avec des fractions
- 1. Lis attentivement et identifie ce qu'on cherche
- 2. Repère les fractions et les quantités données
- 3. Choisis l'opération (fraction d'une quantité, addition, etc.)
- 4. Calcule en montrant toutes les étapes
- 5. Vérifie et simplifie le résultat
Une classe de 30 élèves. ⅖ font du sport le mardi et ⅓ font de la musique.
Combien d'élèves au total font une activité ?
Sport : ⅖ de 30 → 30 ÷ 5 = 6 → 6 × 2 = 12 élèves
Musique : ⅓ de 30 → 30 ÷ 3 = 10 → 10 × 1 = 10 élèves
Total : 12 + 10 = 22 élèves
Vérification : 22 < 30, c'est cohérent ✓
Lucas mange ¾ d'une tarte. Sa sœur mange ⅔ de ce qui reste.
Ce qui reste après Lucas = 1 − ¾ = ¼ de la tarte.
Sa sœur mange : ⅔ × ¼ = ²⁄₁₂ = ⅙ de la tarte.
Si quelqu'un prend ¾, il reste ¼ (pas ¾ !). Lis toujours bien l'énoncé pour savoir si on parle de la partie prise ou de la partie restante.
Bilan — exercices types CM2
Simplifie ²⁴⁄₃₆ :
Diviseurs communs de 24 et 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
PGCD = 12 → ²⁴⁄₃₆ = ²⁄₃ (irréductible car PGCD(2,3)=1)
Calcule ⅔ + ⅗ :
Dénominateur commun = 15 (PPCM de 3 et 5)
⅔ = ¹⁰⁄₁₅ · ⅗ = ⁹⁄₁₅
¹⁰⁄₁₅ + ⁹⁄₁₅ = ¹⁹⁄₁₅ = 1⁴⁄₁₅
Calcule ⅔ × ⁹⁄₁₀ :
Simplification croisée : le 2 et le 10 ont 2 en commun → ¹⁄₁ × ⁹⁄₅ ... non.
Le 3 (dénominateur de ⅔) et le 9 (numérateur) ont 3 en commun → ²⁄₁ × ³⁄₁₀ = ⁶⁄₁₀ = ³⁄₅
Un vélo coûte 180 €. Il est en solde à −15%. Quel est le nouveau prix ?
Réduction = 15% de 180 = 180 × 15 ÷ 100 = 180 × 0,15 = 27 €
Nouveau prix = 180 − 27 = 153 €
A retenir
- Simplifier : divise num ET dén par leur PGCD jusqu'à fraction irréductible
- Addition dénominateurs différents : trouver dénominateur commun, convertir, additionner num
- Multiplication : (a/b) × (c/d) = (a×c)/(b×d) — simplifier avant si possible
- Division : multiplier par l'inverse (retourner la fraction diviseur)
- x% = x/100 · 50%=½ · 25%=¼ · 75%=¾ · 10%=1/10 · 20%=⅕
- Toujours simplifier le résultat final !
Tu as compris le cours ? Entraîne-toi maintenant !
📝 Exercices : Fractions CM2