1. Les entiers relatifs
Définition
Les entiers relatifs sont les entiers positifs (+1, +2, +3…), les entiers négatifs (−1, −2, −3…) et zéro.
Le signe indique la direction par rapport à zéro.
Exemples concrets
- Température : −5°C = 5 degrés sous zéro
- Altitude : −200 m = 200 m sous le niveau de la mer
- Bilan financier : −50€ = dette de 50€
- Score : +10 = 10 points gagnés
Droite numérique des entiers relatifs
2. Valeur absolue et opposé
Valeur absolue
La valeur absolue de a (notée |a|) = distance de a à 0 sur la droite numérique.
|a| est toujours positive ou nulle.
|+5|
= 5
|−7|
= 7
|0|
= 0
|−12|
= 12
Opposé
L'opposé de a (noté −a) = même valeur absolue, signe contraire.
L'opposé de (+5) = −5 | L'opposé de (−3) = +3
3. Comparer les entiers relatifs
Règles
- Tout entier positif est supérieur à tout entier négatif
- Deux négatifs : le plus grand est celui dont la valeur absolue est la plus petite
Ex : −3 > −8 (car −3 est plus près de 0) - Sur la droite numérique : les grands sont à droite
Exemples
- −5 < −2 < 0 < 1 < 4 < 10
- Température : −10°C < −3°C < 0°C < +5°C < +20°C
4. Additionner des entiers relatifs
Même signe
(+3) + (+5) = +(3+5) = +8
(−4) + (−6) = −(4+6) = −10
Signes différents → soustraire les valeurs absolues
(+8) + (−3) = +(8−3) = +5
(−7) + (+2) = −(7−2) = −5 (signe du + grand)
Exemples guidés
- (+4) + (−9) = −5 (9 > 4, donc signe −, 9−4=5)
- (−3) + (−8) = −11 (même signe, additionner)
- (+12) + (−7) = +5 (12 > 7, signe +, 12−7=5)
5. Soustraire des entiers relatifs
Règle fondamentale
a − b = a + (−b)
Soustraire b revient à additionner l'opposé de b
Exemples
- 3 − (−5) = 3 + 5 = 8 (soustraire un négatif = ajouter)
- (−2) − 7 = (−2) + (−7) = −9
- 5 − 8 = 5 + (−8) = −3
- (−4) − (−6) = (−4) + 6 = +2
Erreur fréquente
3 − (−5) ≠ 3 − 5 ! Soustraire un négatif c'est comme additionner son opposé positif.
6. Multiplier et diviser
Règle des signes
- +×+ = + et −×− = + (même signe → résultat positif)
- +×− = − et −×+ = − (signes différents → résultat négatif)
- Même règle pour la division
(+3)×(+4)
= +12
(−3)×(−4)
= +12
(+3)×(−4)
= −12
(−12)÷(+3)
= −4
📌 À retenir
- Négatifs : plus la valeur absolue est grande, plus le nombre est petit (−8 < −2)
- |−5| = 5 (distance à zéro) | opposé de (−3) = +3
- Même signe → additionner les valeurs absolues, garder le signe
- Signes différents → soustraire, signe du plus grand en valeur absolue
- a − b = a + (−b) | même signe × → +, signes différents × → −
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