1. Qu'est-ce que la proportionnalité ?
Deux grandeurs sont proportionnelles si, quand on multiplie l'une par un nombre, l'autre est multipliée par le même nombre.
Il existe un nombre appelé coefficient de proportionnalité qui relie les deux grandeurs.
1 kg → 2 € · 2 kg → 4 € · 5 kg → 10 €
On multiplie le nombre de kg par 2 pour trouver le prix. Le coefficient est 2.
Vérification : 1×2=2 ✓ · 2×2=4 ✓ · 5×2=10 ✓ → situation proportionnelle.
Un tableau de proportionnalité a deux lignes. Pour passer de la première ligne à la seconde, on multiplie toujours par le même coefficient.
| Quantité (kg) | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 2 | 4 | 6 | 10 |
- Âge et taille : à 5 ans on mesure 1 m, à 10 ans 1,3 m (pas ×2 !) → non proportionnel
- Côté d'un carré et périmètre : proportionnel (P = 4×côté)
- Côté d'un carré et aire : NON proportionnel (aire = côté², pas côté×k)
Ce n'est PAS parce que les nombres augmentent ensemble que c'est proportionnel.
Il faut vérifier que le rapport (valeur2 ÷ valeur1) est toujours le même.
2. Reconnaître un tableau de proportionnalité
Dans un tableau de proportionnalité, si on divise chaque valeur de la 2ème ligne par la valeur correspondante de la 1ère ligne, on obtient toujours le même nombre : le coefficient.
| Nombre d'heures | 2 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|
| Salaire (€) | 16 | 40 | 64 |
16÷2 = 8 · 40÷5 = 8 · 64÷8 = 8 → coefficient = 8 ✓ → proportionnel
| Âge (années) | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|
| Taille (cm) | 85 | 110 | 140 |
85÷2 = 42,5 · 110÷5 = 22 · 140÷10 = 14 → quotients différents → non proportionnel
Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux.
Si (a, b) et (c, d) sont deux colonnes : a × d = b × c
3. Compléter un tableau de proportionnalité
- Méthode du coefficient : trouve le coefficient (2ème ligne ÷ 1ère ligne), puis multiplie
- Méthode de la règle de 3 : passe d'abord par 1 (la valeur unitaire)
Coefficient = 4,50 ÷ 3 = 1,50 → 7 × 1,50 = 10,50 €
1 livre = 12 ÷ 5 = 2,40 € → 8 × 2,40 = 19,20 €
1 kg = 7,50 ÷ 5 = 1,50 € → 12 ÷ 1,50 = 8 kg
1 personne = 200 ÷ 4 = 50 g → 6 × 50 = 300 g
4. La règle de 3 (produit en croix)
Si a est à b ce que c est à ? :
On pose : a → b · c → x
x = (b × c) ÷ a = b × c / a
- Recette : 250 g de sucre pour 12 gâteaux → pour 8 gâteaux ? → x = (250 × 8) ÷ 12 = 2000 ÷ 12 ≈ 167 g
- Distance : en 3 h, on roule 240 km → en 5 h ? → x = (240 × 5) ÷ 3 = 400 km
- Prix : 4 m de tissu → 18 € → 7 m ? → x = (18 × 7) ÷ 4 = 126 ÷ 4 = 31,50 €
- Quantité : 15 € pour 5 kg de pommes → combien de kg pour 21 € ? → x = (5 × 21) ÷ 15 = 7 kg
- Durée : 40 pages lues en 2 h → 100 pages en combien de temps ? → x = (2 × 100) ÷ 40 = 5 h
Après chaque calcul, vérifie que ton résultat est cohérent.
Si 1 kg coûte 3 €, alors 5 kg = 15 €. Si tu trouves 150 €, c'est une erreur d'un facteur 10.
Dans la règle de 3, on multiplie en diagonale puis on divise par le dernier :
3 → 4,50 · 7 → x : x = (4,50 × 7) ÷ 3 = 31,50 ÷ 3 = 10,50
Ne divise pas 4,50 ÷ 7 (ce serait inverser le calcul).
5. Les pourcentages
Le mot pourcent signifie "pour cent", soit "sur 100".
x% = x/100 = x ÷ 100
Exemple : 30% = 30/100 = 0,30 = 30 pour 100
Méthode 1 : Quantité × x ÷ 100
Méthode 2 : Quantité × (x/100) = Quantité × 0,x
Exemple : 30% de 80 = 80 × 30 ÷ 100 = 80 × 0,30 = 24
- 10% de 350 = 350 ÷ 10 = 35
- 20% de 150 = 150 ÷ 5 = 30 (car 20% = ⅕)
- 25% de 120 = 120 ÷ 4 = 30 (car 25% = ¼)
- 15% de 200 = 10% + 5% = 20 + 10 = 30 (15% = 10% + 5%)
Quelle fraction de 80 représente 20 ?
20 ÷ 80 = 0,25 = 25% → 20 est 25% de 80.
6. Soldes et remises
Un article est en solde quand son prix est réduit d'un certain pourcentage.
La remise (ou réduction) = montant économisé.
Le nouveau prix = prix initial − remise.
- T-shirt 40 €, −20% → remise = 8 € → prix soldé = 32 €
- Chaussures 60 €, −30% → remise = 18 € → prix soldé = 42 €
- Jouet 45 €, −10% → remise = 4,50 € → prix soldé = 40,50 €
La TVA (taxe) augmente le prix. TVA de 20% sur 50 € HT :
TVA = 20% de 50 = 50 × 0,20 = 10 €
Prix TTC (avec taxe) = 50 + 10 = 60 €
7. Échelles et plans
Une échelle est un rapport de proportionnalité entre une mesure sur un plan (ou une carte) et la mesure réelle.
Une échelle s'écrit sous la forme 1 / n ou 1 : n (exemple : 1/25 000).
Échelle 1/25 000 signifie : 1 cm sur la carte = 25 000 cm dans la réalité = 250 m
Échelle 1/1 000 signifie : 1 cm sur le plan = 1 000 cm = 10 m
Échelle 1/100 signifie : 1 cm sur le dessin = 100 cm = 1 m
3 × 50 000 = 150 000 cm = 1 500 m = 1,5 km
200 000 ÷ 100 000 = 2 cm sur la carte
- Plan de maison : 1/100 (1 cm = 1 m)
- Plan de ville : 1/10 000 (1 cm = 100 m)
- Carte routière : 1/200 000 (1 cm = 2 km)
- Carte IGN : 1/25 000 (1 cm = 250 m)
Convertis toujours en mêmes unités avant de calculer.
Échelle 1/100 000 : distance réelle = 3,5 km = 350 000 cm → sur la carte = 350 000 ÷ 100 000 = 3,5 cm
A retenir
- Proportionnel : même coefficient partout → test : valeur2 ÷ valeur1 = constante
- Compléter un tableau : trouver le coefficient (÷) puis multiplier
- Règle de 3 : passe par 1 unité, puis multiplie (ou produit en croix)
- x% de N = N × x ÷ 100 · 10%=÷10 · 25%=÷4 · 50%=÷2
- Solde −x% → tu paies (100−x)% du prix initial
- Échelle 1/n : mesure réelle = mesure carte × n (convertir les unités !)
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